NÚMEROS PERFEITOS

  Em matemática, um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores positivos próprios. Vale lembrar que divisores próprios de um número positivo N são todos os divisores inteiros positivos de N exceto o próprio N.

  Por exemplo, o número 6 é um número perfeito, pois seus divisores próprios são 1, 2 e 3, cuja soma é igual à 6. 

1 + 2 + 3 = 6.

 

O próximo número perfeito é o 28, pois: 

 

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 

 

sendo 1, 2, 4, 7 e 14 os seus divisores próprios.

  Os quatro primeiros números perfeitos (6, 28, 496 e 8.128) eram os únicos conhecidos pelos gregos antigos desde pelo menos Euclides. No século XV acrescentou-se 33.550.336 à lista.

  Houve uma aura mística em torno dos números perfeitos, tentava-se uma conexão entre a teoria dos números e a Teologia. Santo Agostinho (354 - 430 d.C.) apresenta uma argumentação para esta conexão: "Seis é um número perfeito em si mesmo, e não porque Deus tenha criado todas as coisas em seis dias; o inverso é que é verdade: Deus criou todas as coisas em seis dias porque este número é perfeito, e teria sido perfeito mesmo que a obra dos seis dias não existisse".

Euclides descobriu que os quatro primeiros números perfeitos são gerados pela fórmula: 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1):

para n = 2: 2¹(2² − 1) = 6

para n = 3: 2²(2³ − 1) = 28

para n = 5: 2⁴(2⁵ − 1) = 496

para n = 7: 2⁶(2⁷ − 1) = 8.128

   De fato, no IX livro dos “Elementos” ele prova que se 2ⁿ − 1 é um número primo então 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) é um número perfeito par.

  Os matemáticos da Antiguidade fizeram várias afirmações sobre os números perfeitos baseados nos quatro que conheciam, mas a maior parte delas vieram a provar-se serem falsas. Uma dessas afirmações era que como 2, 3, 5, e 7 são precisamente os quatro primeiros primos, o quinto número perfeito seria obtido com n = 11, que é o quinto primo. Todavia, 

2¹¹ − 1 = 2.047 = 23 × 89 não é primo e daí n = 11 não gera um número perfeito. 
 

  Duas outras falsas afirmações são:

• O quinto número perfeito teria cinco algarismos pois os primeiros quatro têm, respectivamente, 1, 2, 3, e 4 algarismos.
• Os números perfeitos alternam 6 e 8 no último algarismo. 

  O quinto número perfeito (33.550.336 = 2¹²(2¹³ − 1)) tem 8 algarismos, contrariando a primeira afirmação. Como termina em 6, a segunda afirmação parecia não ser falsa. Todavia, o sexto número perfeito (8.589.869.056) também termina em 6. É fácil provar que o último algarismo de um número perfeito par é sempre 6 ou 8.
 

  Para que 2ⁿ − 1 seja primo, é necessário mas não suficiente que n seja primo. Os primos da forma 2ⁿ − 1 são conhecidos como primos de Mersenne, em honra do monge, filósofo e matemático francés Marin Mersenne, que os estudou em 1.644 junto com a teoria dos números e as propriedades dos números perfeitos.

  Um milénio depois de Euclides, Ibn al-Haytham (Alhazen) por volta do ano 1.000 percebeu que todo o número perfeito par é da forma 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) onde 2ⁿ − 1 é um número primo, mas não conseguiu provar o resultado. Só no século XVIII Leonhard Euler provou que a fórmula 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) daria todos os números perfeitos pares. Portanto, todo o primo de Mersenne gera um diferente número perfeito par, numa correspondência unívoca entre ambos os conjuntos. Este resultado é muitas vezes referido como o "teorema de Euclides-Euler". 
 

  À data de Setembro de 2009 eram conhecidos 47 primos de Mersenne o que significa que há 47 números perfeitos pares conhecidos, sendo o maior 2^43.112.608 × (2^43.112.609− 1), um enorme número com 25.956.377 algarismos.

Os primeiros 39 números perfeitos pares são da forma 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) para

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (seqüência A000043 na OEIS).

   Os outros oito conhecidos são para n = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 e 43112609. Não se sabe se há outros algures neste intervalo.

  A existência ou não de números perfeitos ímpares é um desafio para a Teoria dos Números. De fato, não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e conjetura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum. Em 2004 foi submetido ao arXiv um artigo pelo matemático australiano Simon Davis contendo a demonstração desta conjectura, que não foi no entanto ainda publicado.