Em matemática, um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores positivos próprios. Vale lembrar que divisores próprios de um número positivo N são todos os divisores inteiros positivos de N exceto o próprio N.
Por exemplo, o número 6 é um número perfeito, pois seus divisores próprios são 1, 2 e 3, cuja soma é igual à 6.
1 + 2 + 3 = 6.
O próximo número perfeito é o 28, pois:
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
sendo 1, 2, 4, 7 e 14 os seus divisores próprios.
Os quatro primeiros números perfeitos (6, 28, 496 e 8.128) eram os únicos conhecidos pelos gregos antigos desde pelo menos Euclides. No século XV acrescentou-se 33.550.336 à lista.
Houve uma aura mística em torno dos números perfeitos, tentava-se uma conexão entre a teoria dos números e a Teologia. Santo Agostinho (354 - 430 d.C.) apresenta uma argumentação para esta conexão: "Seis é um número perfeito em si mesmo, e não porque Deus tenha criado todas as coisas em seis dias; o inverso é que é verdade: Deus criou todas as coisas em seis dias porque este número é perfeito, e teria sido perfeito mesmo que a obra dos seis dias não existisse".
Euclides descobriu que os quatro primeiros números perfeitos são gerados pela fórmula: 2n−1(2n − 1):
- para n = 2: 21(22 − 1) = 6
- para n = 3: 22(23 − 1) = 28
- para n = 5: 24(25 − 1) = 496
- para n = 7: 26(27 − 1) = 8.128
De fato, no IX livro dos “Elementos” ele prova que se 2n − 1 é um número primo então 2n−1(2n − 1) é um número perfeito par.
Os matemáticos da Antiguidade fizeram várias afirmações sobre os números perfeitos baseados nos quatro que conheciam, mas a maior parte delas vieram a provar-se serem falsas. Uma dessas afirmações era que como 2, 3, 5, e 7 são precisamente os quatro primeiros primos, o quinto número perfeito seria obtido com n = 11, que é o quinto primo. Todavia,
211 − 1 = 2.047 = 23 × 89 não é primo e daí n = 11 não gera um número perfeito.
Duas outras falsas afirmações são:
- O quinto número perfeito teria cinco algarismos pois os primeiros quatro têm, respectivamente, 1, 2, 3, e 4 algarismos.
- Os números perfeitos alternam 6 e 8 no último algarismo.
O quinto número perfeito (33.550.336 = 212(213 − 1)) tem 8 algarismos, contrariando a primeira afirmação. Como termina em 6, a segunda afirmação parecia não ser falsa. Todavia, o sexto número perfeito (8.589.869.056) também termina em 6. É fácil provar que o último algarismo de um número perfeito par é sempre 6 ou 8.
Para que 2n − 1 seja primo, é necessário mas não suficiente que n seja primo. Os primos da forma 2n − 1 são conhecidos como primos de Mersenne, em honra do monge, filósofo e matemático francés Marin Mersenne, que os estudou em 1.644 junto com a teoria dos números e as propriedades dos números perfeitos.
Um milénio depois de Euclides, Ibn al-Haytham (Alhazen) por volta do ano 1.000 percebeu que todo o número perfeito par é da forma 2n−1(2n − 1) onde 2n − 1 é um número primo, mas não conseguiu provar o resultado. Só no século XVIII Leonhard Euler provou que a fórmula 2n−1(2n − 1) daria todos os números perfeitos pares. Portanto, todo o primo de Mersenne gera um diferente número perfeito par, numa correspondência unívoca entre ambos os conjuntos. Este resultado é muitas vezes referido como o "teorema de Euclides-Euler".
À data de Setembro de 2009 eram conhecidos 47 primos de Mersenne o que significa que há 47 números perfeitos pares conhecidos, sendo o maior 243.112.608 × (243.112.609− 1), um enorme número com 25.956.377 algarismos.
Os primeiros 39 números perfeitos pares são da forma 2n−1(2n − 1) para
- n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (seqüência A000043 na OEIS).
Os outros oito conhecidos são para n = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 e 43112609. Não se sabe se há outros algures neste intervalo.
A existência ou não de números perfeitos ímpares é um desafio para a Teoria dos Números. De fato, não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e conjetura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum. Em 2004 foi submetido ao arXiv um artigo pelo matemático australiano Simon Davis contendo a demonstração desta conjectura, que não foi no entanto ainda publicado.
Saudações, Yoi e todo mundo ...
ResponderEliminarVocês já ouviram falar da Conjectura de Oystein Ore [matemático norueguês] sobre os números divisores harmônicos ?? Se esta conjectura for verdadeira, ela implica que os "números perfeitos ímpares" não existem !!!
Desde já grato por tudo ...
Tchau
Valeu Len! Vou procurar informações sobre essa Conjectura. Muito obrigado pela dica e pela visita. Volte sempre!
ResponderEliminarGrato!
Yoisell