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martes, 14 de junio de 2011

LADY GAGA, MATEMÁTICAS Y LOS TATUAJES

El tatuaje que Lady Gaga lleva 
en el antebrazo tendrá el aspecto 
de la segunda foto en 5 años 
y el de la tercera dentro de 20.
Imagen: University College de Londres.

Las matemáticas predicen cómo cambiaría un tatuaje con el paso de los años.

   Un investigador británico acaba de desarrollar un modelo matemático para determinar qué aspecto tendrá un tatuaje a medida que envejezca la piel sobre la que se dibujó. Su trabajo aparece publicado en la revista Mathematics Today.
   Quien decide tatuarse piensa que llevará una marca inalterable sobre la piel, pero en realidad las tintas se dispersarán con el tiempo y el dibujo original se acabará alterando. Ahora, el profesor Ian Eames, del University College de Londres, ha creado un modelo matemático que permite, por primera vez, simular los cambios que sufre un tatuaje a través de los años.

   “El tipo de piel, la edad, el tamaño del tatuaje, la exposición al sol y el tipo de tinta utilizado son los factores que determinan la forma en que el tatuaje se distorsionará con el tiempo”, declara Eames. 
 
   Durante el proceso de tatuado se insertan partículas insolubles en la dermis, la capa que se encuentra inmediatamente debajo de la más externa, la epidermis. Las tintas utilizadas provienen en muchos casos de metales pesados, como mercurio, plomo, cadmio, níquel, cinc y hierro, y están compuestas por una suspensión de partículas insolubles en agua.
De izquierda a derecha y de arriba abajo: 
aspecto de un tatuaje en la actualidad
y dentro de dos, diez y veinte años.
Imagen: SINC

Colorantes en movimiento
   Cuando el tatuador pincha la dermis con agujas para aplicar la tinta –una sustancia 'extraña'–, el organismo genera una respuesta inmune que hace que los glóbulos blancos acudan a limpiarla. En este proceso se eliminan del cuerpo algunas de las partículas de la tinta; pero otras permanecen y quedan atrapadas en el tejido conjuntivo del organismo, formando parte del tatuaje. En el plazo de un mes, el nexo entre la epidermis y la dermis se habrá reformado y el dibujo quedará fijado para siempre en el cuerpo.

   Sin embargo, no siempre conservará su aspecto original, ya que, con el paso del tiempo, las células que contienen la tinta mueren, se dividen o se desprenden del organismo, en un proceso inevitable que acabará alterando el dibujo. Eames ha creado el primer modelo teórico que integra los datos del movimiento de las partículas colorantes en las células cutáneas y que pronostica su evolución a largo plazo. 
 
Los gruesos aguantan más tiempo
   “Mi investigación proporciona un marco matemático que nos permite predecir cómo se moverán en la piel las partículas de tinta en un periodo de 20 años. Esto ayudará a sentar las bases para evaluar las implicaciones de los tatuajes en la salud. También servirá para que las personas que decidan tatuarse se hagan una idea de cómo se verá su dibujo al cabo de los años”.
Según los modelos matemáticos, los tatuajes de mayor tamaño y líneas más gruesas envejecen mejor que aquellos que son más pequeños y detallados, puesto que las líneas finas acaban desvaneciéndose antes –en unos diez años–. 
 
   En algunas culturas –por ejemplo, en la polinesia–, los tatuajes son muy comunes, mientras que en otras se han convertido en seña de pertenencia a grupos tan diversos como militares, marinos, mafiosos, pandilleros o presidiarios. Sin embargo, en la actualidad, su uso se ha generalizado. 
 
   Se estima que el 36% de los adolescentes estadounidenses de entre 18 y 25 años y hasta un 40% de los que tienen entre 26 y 40 años tienen alguna parte de su cuerpo marcada con tinta. También resulta común ver tatuajes en la piel de personajes famosos, como es el caso de Angelina Jolie, David Beckham o, incluso, la primera dama británica, Samantha Cameron. 
 
Inspirado por su abuelo y la mecánica de fluidos
   Fue precisamente el recuerdo de un tatuaje familiar lo que llevó a Eames a otorgar una perspectiva científica a su interés personal.
Mi abuelo se alistó en la Marina cuando tenía 17 años y gastó el sueldo de su primera de semana de trabajo en un tatuaje del que estaba tremendamente orgulloso. Sin embargo, a lo largo de su vida, se fue viendo borroso. Me interesó comprender cómo y por qué el tatuaje cambiaba con el tiempo, especialmente ahora, ya que hay mucha gente que se tatúa. Los tatuajes también dan respuesta a interesantes cuestiones científicas”, explica Eames a SINC. 
 
   Para este profesor de mecánica de fluidos los tatuajes están muy relacionados con la disciplina de la que es experto: “Las partículas de la tinta son insolubles y no se disuelven, sino que se dispersan. El modelo técnico que he aplicado en este caso es común en, por ejemplo, el estudio de cómo las partículas se propagan en el entorno de un hospital o las turbulencias que esparcen un contaminante en el mar o en el aire”. 
 
Fuente: SINC

martes, 3 de mayo de 2011

NÚMEROS PERFEITOS


  Em matemática, um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores positivos próprios. Vale lembrar que divisores próprios de um número positivo N são todos os divisores inteiros positivos de N exceto o próprio N.
  Por exemplo, o número 6 é um número perfeito, pois seus divisores próprios são 1, 2 e 3, cuja soma é igual à 6. 

1 + 2 + 3 = 6.
 
O próximo número perfeito é o 28, pois: 
 
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 
 
sendo 1, 2, 4, 7 e 14 os seus divisores próprios.

  Os quatro primeiros números perfeitos (6, 28, 496 e 8.128) eram os únicos conhecidos pelos gregos antigos desde pelo menos Euclides. No século XV acrescentou-se 33.550.336 à lista.

  Houve uma aura mística em torno dos números perfeitos, tentava-se uma conexão entre a teoria dos números e a Teologia. Santo Agostinho (354 - 430 d.C.) apresenta uma argumentação para esta conexão: "Seis é um número perfeito em si mesmo, e não porque Deus tenha criado todas as coisas em seis dias; o inverso é que é verdade: Deus criou todas as coisas em seis dias porque este número é perfeito, e teria sido perfeito mesmo que a obra dos seis dias não existisse".

Euclides descobriu que os quatro primeiros números perfeitos são gerados pela fórmula: 2n−1(2n − 1):
para n = 2: 21(22 − 1) = 6
para n = 3: 22(23 − 1) = 28
para n = 5: 24(25 − 1) = 496
para n = 7: 26(27 − 1) = 8.128
   De fato, no IX livro dos “Elementos” ele prova que se 2n − 1 é um número primo então 2n−1(2n − 1) é um número perfeito par.
  Os matemáticos da Antiguidade fizeram várias afirmações sobre os números perfeitos baseados nos quatro que conheciam, mas a maior parte delas vieram a provar-se serem falsas. Uma dessas afirmações era que como 2, 3, 5, e 7 são precisamente os quatro primeiros primos, o quinto número perfeito seria obtido com n = 11, que é o quinto primo. Todavia, 
211 − 1 = 2.047 = 23 × 89 não é primo e daí n = 11 não gera um número perfeito. 
 
  Duas outras falsas afirmações são:
  • O quinto número perfeito teria cinco algarismos pois os primeiros quatro têm, respectivamente, 1, 2, 3, e 4 algarismos.
  • Os números perfeitos alternam 6 e 8 no último algarismo. 
  O quinto número perfeito (33.550.336 = 212(213 − 1)) tem 8 algarismos, contrariando a primeira afirmação. Como termina em 6, a segunda afirmação parecia não ser falsa. Todavia, o sexto número perfeito (8.589.869.056) também termina em 6. É fácil provar que o último algarismo de um número perfeito par é sempre 6 ou 8.
 
  Para que 2n − 1 seja primo, é necessário mas não suficiente que n seja primo. Os primos da forma 2n − 1 são conhecidos como primos de Mersenne, em honra do monge, filósofo e matemático francés Marin Mersenne, que os estudou em 1.644 junto com a teoria dos números e as propriedades dos números perfeitos.

  Um milénio depois de Euclides, Ibn al-Haytham (Alhazen) por volta do ano 1.000 percebeu que todo o número perfeito par é da forma 2n−1(2n − 1) onde 2n − 1 é um número primo, mas não conseguiu provar o resultado. Só no século XVIII Leonhard Euler provou que a fórmula 2n−1(2n − 1) daria todos os números perfeitos pares. Portanto, todo o primo de Mersenne gera um diferente número perfeito par, numa correspondência unívoca entre ambos os conjuntos. Este resultado é muitas vezes referido como o "teorema de Euclides-Euler"
 
  À data de Setembro de 2009 eram conhecidos 47 primos de Mersenne o que significa que há 47 números perfeitos pares conhecidos, sendo o maior 243.112.608 × (243.112.609− 1), um enorme número com 25.956.377 algarismos.
Os primeiros 39 números perfeitos pares são da forma 2n−1(2n − 1) para
n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (seqüência A000043 na OEIS).
   Os outros oito conhecidos são para n = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 e 43112609. Não se sabe se há outros algures neste intervalo.

  A existência ou não de números perfeitos ímpares é um desafio para a Teoria dos Números. De fato, não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e conjetura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum. Em 2004 foi submetido ao arXiv um artigo pelo matemático australiano Simon Davis contendo a demonstração desta conjectura, que não foi no entanto ainda publicado.

viernes, 29 de abril de 2011

NÚMEROS AMIGOS

    Dizemos que dois números são amigos se cada um deles é igual a soma dos divisores próprios do outro.
Os divisores próprios de um número positivo N são todos os divisores inteiros positivos de N exceto o próprio N. 

   Um exemplo de números amigos são 284 e 220, pois os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Efetuando a soma destes números obtemos o resultado 284. 
 
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 
 
    Os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142, efetuando a soma destes números obtemos o resultado 220. 
 
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 
 
      A descoberta deste par de números é atribuída à Pitágoras.
Houve uma aura mística em torno deste par de números, e estes representaram papel importante na magia, feitiçaria, na astrologia e na determinação de horóscopos. 
 
     Outros números amigos foram descobertos com o passar do tempo. Pierre de Fermat anunciou em 1636 um novo par de números amigos formando por 17296 e 18416, mas na verdade tratou-se de uma redescoberta pois o árabe al-Banna (1256 - 1321) já havia encontrado este par de números no fim do século XIII. 
 
     Leonard Euler, matemático suíço, estudou sistematicamente os números amigos e descobriu em 1747 uma lista de trinta pares, e ampliada por ele mais tarde para mais de sessenta pares. Todos os números amigos inferiores a um bilhão já foram encontrados.

lunes, 14 de marzo de 2011

Ecuaciones de la Física – Matemática s.XVIII - XIX


Breve paseo científico...
(criado em novembro de 2005)

  La teoría de las ecuaciones diferenciales nos proporciona modelos matemáticos asociados a diferentes fenómenos de la Física (movimiento vibratorio, difusión del calor,...), Química (procesos de reacción-combustión), Biología (dinámica de poblaciones), Óptica (procesos de difusión de la luz), Economía (optimización del rendimiento), Ingeniería (diseño óptimo de vigas) por citar algunos ejemplos de la interminable lista...

sábado, 12 de marzo de 2011

Número de Oro - Razón divina


    Las extrañas apariciones de la sucesión de Fibonacci y de la razón áurea son tan atractivas que es fácil caer encandilados bajo su hechizo. Sabemos que se rigen por ella variados patrones naturales, así como ciertas proporciones de la anatomía humana, animal y vegetal. También se han hallado manifestaciones de estas entidades en las artes plásticas, la arquitectura y la música.
    

    Las peculiaridades de estas maravillosas razones matemáticas son, en apariencia, infinitas:

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