LOGARITMOS EN LA MÚSICA

     A los músicos raramente les atraen las matemáticas. Aunque en su mayoría, sienten respeto por esa ciencia, prefieren mantenerse alejados de ella. Sin embargo, los músicos, incluso los que como el Salleri de Pushkin menosprecian el álgebra en la armonía, se las tienen que ver con las matemáticas más a menudo de lo que ellos mismos suponen y, por añadidura, con cosas tan terribles como los logaritmos. 

   A este propósito me permito transcribir el fragmento de un artículo de nuestro difunto profesor de física, A. Eihenvald.
«A mi compañero de gimnasio le gustaba tocar el piano, pero no le agradaban las matemáticas; incluso manifestaba en tono despectivo que la música y las matemáticas no tienen nada en común: "Es cierto que Pitágoras halló ciertas correlaciones entre las vibraciones del sonido; pero precisamente la gama de Pitágoras resultó inaplicable para nuestra música"». 

   Imagínense lo desagradable de la sorpresa de mi compañero al demostrarle que al tocar sobre las teclas del piano moderno, se toca, hablando con rigor, sobre logaritmos...
Efectivamente: los llamados «grados» de tonalidad de la escala cromática no son equidistantes ni por el número de vibraciones ni por la longitud de las ondas de los sonidos respectivos, sino que representan los logaritmos de estas magnitudes. La base de estos logaritmos es 2, y no 10, como se admite en otros casos. 

   Supongamos que la nota do de la octava más baja - la representamos con el cero - está determinada por n y vibraciones por segundo. En este caso, el do de la primera octava producirá al segundo 2 n vibraciones; el do y de la m octava producirá n *2 ^m vibraciones, etc. 

   Expresemos todas las notas de la escala cromático del piano con los números p , tomando el do de cada octava como nota cero; entonces, la nota sol será la nota 7ª, el la , la 9ª, etc.; la 12ª será de nuevo el do , aunque de una octava más alta.
Y como en la escala cromática, cada nota siguiente tiene 
 

más vibraciones que la anterior, entonces el número de éstas de cualquier tono puede ser expresado con la fórmula: 
 

Aplicando los logaritmos a esta fórmula, obtendremos:

ó

al tomar el número de vibraciones del do más bajo como unidad (n = 1) y pasando los logaritmos al sistema de base 2 (o simplemente tomando log 2 = 1), tenemos:

    De aquí vemos que los números de teclas del plano constituyen logaritmos de la cantidad de vibraciones de cada uno de los sonidos correspondientes. Podemos incluso decir que el número de la octava forma la característica, y el número del sonido en la octava dada es la mantisa de este logaritmo».
    Por ejemplo, en el tono sol de la tercera octava, es decir, en el número 3+ 7/12 (≈ 3,583), el número 3 es la característica del logaritmo del número de vibraciones de este tono y 7/12 (≈ 0,583), la mantisa del mismo logaritmo de base 2; por consiguiente el número de vibraciones es 2^3,583 o sea, es 11,98 veces mayor que el número de vibraciones del tono do de la primera octava.

Fuente: Y. Perelman, Álgebra Recreativa. Ed. Mir. Moscú, 1978