viernes, 29 de abril de 2011

NÚMEROS AMIGOS

    Dizemos que dois números são amigos se cada um deles é igual a soma dos divisores próprios do outro.
Os divisores próprios de um número positivo N são todos os divisores inteiros positivos de N exceto o próprio N. 

   Um exemplo de números amigos são 284 e 220, pois os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Efetuando a soma destes números obtemos o resultado 284. 
 
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 
 
    Os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142, efetuando a soma destes números obtemos o resultado 220. 
 
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 
 
      A descoberta deste par de números é atribuída à Pitágoras.
Houve uma aura mística em torno deste par de números, e estes representaram papel importante na magia, feitiçaria, na astrologia e na determinação de horóscopos. 
 
     Outros números amigos foram descobertos com o passar do tempo. Pierre de Fermat anunciou em 1636 um novo par de números amigos formando por 17296 e 18416, mas na verdade tratou-se de uma redescoberta pois o árabe al-Banna (1256 - 1321) já havia encontrado este par de números no fim do século XIII. 
 
     Leonard Euler, matemático suíço, estudou sistematicamente os números amigos e descobriu em 1747 uma lista de trinta pares, e ampliada por ele mais tarde para mais de sessenta pares. Todos os números amigos inferiores a um bilhão já foram encontrados.

miércoles, 27 de abril de 2011

ÉRASE UNA VEZ UN PIBE EN EL OESTE


  Lindo día de Pascuas junto a mi familia de aqui en la zona "Oeste" de la ciudad de Rio de Janeiro. O dia que o Pibe virou Cowboy...Ándale, ándale vaquita...rsrsrs

martes, 26 de abril de 2011

CURIOSIDADES DEL IDIOMA ESPAÑOL


  Entre los matices que distinguen a la lengua española figuran en un sitio relevante las curiosidades. A riesgo de ser tildado de chovinista, sospecho que ninguno otro registro idiomático exhibe tantas.
  Pongo de muestra un caso de acentuación. Se trata de una oración en la cual todas sus palabras -nueve en total- llevan tilde. Ahí les va: «Tomás pidió públicamente perdón, disculpándose después muchísimo más íntimamente». A lo mejor una construcción forzada, pero no deja de ser interesante. 
   
   Y disfruten este: La palabra oía tiene tres sílabas en tres letras. En aristocrático, cada letra aparece dos veces. El término arte es masculino en singular y femenino en plural. En la palabra barrabrava, una letra aparece una sola vez, otra aparece dos veces, otra tres veces y la cuarta cuatro veces. En el término centrifugados todas las letras son diferentes y ninguna se repite. El vocablo cinco tiene a su vez cinco letras, coincidencia que no se registra en ningún otro número. El término corrección tiene dos letras dobles...

  Y este otro recital: Las palabras ecuatorianos y aeronáuticos poseen las mismas letras, pero en diferente orden. Con 23 letras, se ha establecido que la palabra electroencefalografista es la más extensa de todas las aprobadas por la Real Academia Española de la Lengua.
  El término estuve contiene cuatro letras consecutivas por orden alfabético: stuv. Con nueve letras, menstrual es el vocablo más largo con solo dos sílabas. Mil es el único número que no tiene ni o ni e. La palabra pedigüeñería tiene los cuatro firuletes que un término puede tener en nuestro idioma: la virgulilla de la ñ, la diéresis sobre la ü, la tilde del acento y el punto sobre la i.
  El vocablo reconocer se lee lo mismo de izquierda a derecha que viceversa. La palabra euforia tiene las cinco vocales y solo dos consonantes...

  Una pincelada en ocasión del Día del Idioma Español, que se celebró el pasado día 23 de abril.

[Tomado de http://www.cubaperiodistas.cu en Abril 26, 2011]

lunes, 25 de abril de 2011

NATURE BY NUMBERS


  "Nature by Numbers" (Naturaleza por números) es un hermoso video de la autoría de Cristóbal Vila, matemático de origen suizo radicado en España. El corto está muy bien realizado, con una armonia y melodia que cautivan. Ilustrando como la Espiral de Fibonacci, la Proporción y Ángulo Áureos, asi como Las Triangulaciones de Delaunay aparecen en la naturaleza de manera sorprendentemente natural.

Gastronomía y Matemáticas

Dos profesores del IES Alfonso XI (España) elaboran un programa y método para que sus alumnos aprendan matemáticas de forma gustosa: 

  Los profesores del IES Alfonso XI, Alejandro Manuel Caño y José Luis Ruiz, que imparten la asignatura de Matemáticas en dicho centro de estudios, han desarrollado un plan para que sus alumnos aprendan Matemáticas, de un modo ameno y divertido, emparentando los números con la Gastronomía.

martes, 19 de abril de 2011

Mas por menos: Número de Oro - Parte02

     
     Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón divina, así como una importancia mística. A lo largo de la historia ha estado presente en diversas obras de arquitectura y otras artes, tales como: el cuadro Leda atómica (de Salvador Dalí), La Mona Lisa (de Leonardo da Vinci) o en el Partenón de Atenas...
     Na literatura, o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo a 1,618 (o número de ouro).
     Os egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides. Por exemplo, cada bloco da pirâmide era 1,618 vezes maior que o bloco do nível logo acima. As câmaras no interior das pirâmides também seguiam essa proporção, de forma que os comprimentos das salas são 1,618 vezes maiores que as larguras...

Mas por menos: Número de Oro - Parte01

     
   El número áureo o de oro (también llamado de razón dorada o divina proporción) se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza, por ejemplo: aparece en la distancia entre las espirales de una piña, podemos encontrarlo en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, etc...

jueves, 14 de abril de 2011

¿Cuánto pesa el aire?

  Para comprobar hasta qué punto se facilitan los cálculos al representar lo números en forma de potencias, pongamos el siguiente ejemplo: hallemos cuántas veces la masa del globo terrestre es mayor que la del aire que lo rodea.

  El aire presiona sobre cada centímetro cuadrado de superficie terrestre con la fuerza de un kilogramo aproximadamente. Esto quiere decir que el peso de la columna de aire que se apoya en 1 cm
2 es igual a 1 kg. La capa atmosférica de la Tierra se forma, por decirlo así, del conjunto de dichas columnas de aire, que son tantas como centímetros cuadrados forman la superficie de nuestro planeta, y como cantidad de kilos, lo que pesa la atmósfera en su conjunto. 

   Si consultamos los índices correspondientes, averiguaremos que la superficie terrestre mide 510 millones de kilómetros cuadrados, es decir, 51 x 10
7 km2 . Veamos cuántos centímetros cuadrados hay en un kilómetro cuadrado. El kilómetro lineal se forma de 1 000 metros y cada uno de éstos tiene 100 centímetros, o sea, un total de 105 cm, por lo cual, el kilómetro cuadrado lo formarán (105)2 o sea 1010 cm2 . De aquí que la superficie del globo terrestre ser igual a 
 
51 x 107 x 1010 = 51 x 1017 cm2

   Esta cifra representa también la cantidad de kilogramos que pesa la atmósfera de la Tierra. 


   Transformando los kilogramos en toneladas resultarán:
51 x 1017 / 1.000 = 51 x 1017 /103 = 51 x 1017-3 = 51 x 1014

mientras que la masa del globo terrestre es de 6 x 10
21 toneladas. 

   Para conocer cuántas veces es más pesado nuestro planeta que la capa de aire que lo rodea, efectuemos la siguiente división:
6 x 1021 /51 x 1014 ≈ 106

de donde se deduce que la masa atmosférica es, aproximadamente, la millonésima parte de la del globo terrestre.

(Tomado del libro Álgebra Recreativa del autor Y. Perelman. Ed. Mir. Moscú, 1978) 

martes, 12 de abril de 2011

Pérolas matemáticas :P

Divirtam-se com estas pérolas matemáticas, encontradas em http://www.somatematica.com.br/perolas.php



 
Outras pérolas
  • "A principal função da raiz é se enterrar."
  •  "Ângulo é duas linhas que vão indo e se encontram."
  •  "Triângulo são os filhos trigêmeos do ângulo."
  •  "Circunferência é uma roda chata. Para a sua fabricação usamos o compasso."
  •  "Tangente é quando a bola passa raspando no jogo de futebol. Ela também tem o nome de trave."
  •  "Um paralelepípedo é um animal cujos dois pés são paralelos."
  • "Um número concreto é um número que vemos a olho nu."
  •  "Triângulo é quando duas pessoas gostam da mesma, como vemos nas novelas o dito chamado ‘triângulo amoroso’."
  •  "Quando abre o ângulo é seno e quando fecha é cosseno porque cola no seno."

lunes, 11 de abril de 2011

Paradoxos famosos

   Em sentido amplo, «paradoxo» significa o que é «contrário à opinião recebida e comum», ou à opinião admitida como válida. Em Filosofia, paradoxo designa o que é aparentemente contraditório, mas que apesar de tudo tem sentido. Em Matemática, fala-se muitas vezes de paradoxo matemático ou paradoxo lógico, ou seja, de uma  contradição deduzida no seio dos sistemas lógicos e das teorias matemáticas.
   No entanto, as fronteiras do conceito de paradoxo não estão muito bem definidas. As ideias de conflito ou de dificuldade insuperável parecem acompanhar de forma estável a ideia de paradoxo. Mas, demasiado gerais, elas podem servir também para caracterizar «antinomia» (que originariamente significava conflito entre duas leis) ou «aporia» («caminho sem saída»).
    Os paradoxos são conhecidos e discutidos desde a antiguidade e o seu aparecimento tem impulsionado, em vários casos, um estudo mais rigoroso e profundo dos fundamentos da matemática.

Alguns dos paradoxos mais conhecidos
  • Paradoxo do Mentiroso, de Epiménides ou do Cretense
  Epiménides é cretense e afirma que todos os cretenses mentem.
Se Epiménides for cretense e se todos os cretenses mentem então, quando Epiménides afirma: “Todos os cretenses mentem” está  a dizer verdade. Portanto Epiménides não mente quando afirma que todos os cretenses, incluindo ele próprio, mentem.
   Agora bem Epimerides é cretense e por isso mente sempre isto é, neste caso Epiménides mente e não mente!!! 
  • O paradoxo do Crocodilo 
  Um crocodilo rouba uma criança. Quando a mãe reclama, o crocodilo faz a seguinte proposta: “devolverei a sua criança se você adivinhar corretamente se eu a devolverei ou não”. A mãe responde: “Você não vai devolver a minha criança”. O que o crocodilo deve fazer?  
Se ele devolver a criança então não pode devolver, pois a mãe errou. Mas, se o crocodilo não a devolve, então tem que devolver, pois a mãe respondeu correctamente.
  • O paradoxo do barbeiro (ou Paradoxo de Russell)
  Existe a seguinte versão popular do paradoxo de Russell:
Há em Sevilha um barbeiro que reúne as duas condições seguintes:
  1. Faz a barba a todas as pessoas de Sevilha que não fazem a barba a si próprias.
  2. Só faz a barba a quem não faz a barba a si próprio.
  O paradoxo surge quando tentamos saber se o desventurado barbeiro faz a barba a si próprio ou não. Se fizer a barba a si próprio, não pode fazer a barba a si próprio, para não violar a condição 2; mas se não fizer a barba a si próprio, então tem de fazer a barba a si próprio, pois essa é a condição 1.
Pode-se resolver o paradoxo do barbeiro dizendo que esse barbeiro e essa aldeia não existe. Solução fácil demais...  
  • O paradoxo na Viagem no Tempo 
  É uma questão de viajar no tempo… se viajar no tempo ao passado para matar o meu avô, então não nasço. Porém, se eu não nasço, não viajo no tempo e não mato o meu avô, mas mesmo assim, nasço e viajo no tempo, assim como mato o meu avô. Contudo, não nasço e não viajo no tempo.

Paradoxos breves

  • É proibido proibir.
  • Tens uma missão: essa missão é não aceitar a missão. Aceitas?
  • Não leias esta frase!
  • "Toda a regra tem uma excepção". Se considerarmos isso uma regra, então essa mesma deve ter uma excepção. Se tem excepção então há regra sem excepção.
  • Se não receber esta carta, deve ter-se extraviado; nesse caso, escreva-me e comunique-me.
  • Um queijo suíço tem buracos; Quanto mais queijo, mais buracos; Quantos mais buracos, menos queijo; Logo, quanto mais queijo, menos queijo! 
  • Tudo o que é bom e barato, é raro; Tudo o que é raro tende a ser caro. Logo, tudo o que é bom e barato é caro!
 

miércoles, 6 de abril de 2011

La ecuación piensa por nosotros

  
  Si no cree que las ecuaciones son a veces más previsoras que nosotros mismos resuelva este problema: 
 
  El padre tiene 32 años; el hijo, 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre diez veces mayor que la del hijo?

Respuesta: 
Expresemos el tiempo buscado con x . Al cabo de x años el padre tendrá 32 + x años; y el hijo, 5 + x años. Y como el padre debe tener 10 veces más años que el hijo, se establece la ecuación 
 
32 + x = 10*(5 + x ).

Al resolverla hallamos que
x = -2.

  
"Al cabo de menos 2 años" significa "hace dos años". Al plantear la ecuación no pensábamos que en el futuro la edad del padre no sería nunca 10 veces superior a la del hijo; esa correlación pudo tener lugar sólo en el pasado.

  La ecuación ha sido más reflexiva que nosotros, y nos ha recordado nuestro descuido.

(Tomado del libro Álgebra Recreativa del autor Y. Perelman. Ed. Mir. Moscú, 1978)

lunes, 4 de abril de 2011

Mas por menos: Fibonacci, La Magia De Los Numeros - Parte02

      ...parece que no solo el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci. Ella también es encontrada en las partes corporales de humanos y animales (la relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo, la relación entre las divisiones vertebrales o la relación entre las articulaciones de las manos y los pies) o hasta en el arte (la relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenon, en Atenas (s. V a. C), las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci, en las estructuras formales de las sonatas de Mozart o en la Quinta Sinfonía de Beethoven)...

      domingo, 3 de abril de 2011

      Mas por menos: Fibonacci, La Magia De Los Numeros - Parte01



        La sucesión de Fibonacci, inicialmente descrita para solucionar un problema de cría de conejos, tiene numerosas aplicaciones en ciencia de la computación, matemática y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles o en la disposición de las espirales que se pueden observar en las flores de los girasoles. Hasta el propio Sistema Solar pareciera seguir este patrón, los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta maravillosa sucesión que encuentra aplicaciones hasta en la música.

      viernes, 1 de abril de 2011

      Comedia algebraica

        La sexta operación aritmética (radicación) permite representar auténticas comedias y farsas algebraicas tales como: 2 * 2 = 5; 2 = 3, etc. 
        La gracia de tales representaciones algebraicas reside en un error, harto elemental, pero que, por hallarse muy oculto, tarda en ser descubierto.
        Mostremos la primera pieza de este repertorio cómico del álgebra.
      2 * 2 = 5 
        En escena aparece la siguiente igualad que no despierta ninguna desconfianza:
      16 - 36 = 25 - 45.

      Se suma a cada miembro una misma cantidad (20 ¼):
      16 – 36 + 20 ¼ = 25 – 45 + 20 ¼

         El ulterior desarrollo de la comedia se reduce a transformaciones (simple completamiento cuadrático):
      42 – 2 * 4 * (9/2) + (9/2)2 = 52 – 2 * 5 * (9/2) + (9/2)2

      Luego,
      (4 – 9/2)2 = (5 – 9/2)2
      Por tanto:
      4 – 9/2 = 5 – 9/2

      O sea:
      4 = 5


      Asi, podemos concluir que
      2 * 2 = 5

      ¿En qué consiste el error?
      (Tomado del libro Álgebra Recreativa del autor Y. Perelman. Ed. Mir. Moscú, 1978)
       

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